Dalla dinamica alla statistica
Lezione in gran parte ispirata da Introduction to Computer Simulation Methods Harvey Gould, Jan Tobochnik, and Wolfgang Christian, Addison-Wesley (2006) http://sip.clarku.edu/ si veda anche Statistical and Thermal Physics (Gould Tobochnik) http://www.compadre.org/stp/. Da questi link si può scaricare il testo e gli esempi numerici (in java, truebasic e con un package per la simulazione fisica).
Impostazione del problema. Equazioni del moto.
Potenziale di Lennard-Jones. Forza intermolecolare.
Equazioni di Hamilton-Jacobi.
Esempio: oscillatore armonico. Equazioni del moto.
Integrazione di equazioni differenziali: metodo di Eulero.
Traiettorie nello spazio delle fasi.
Il problema della precisione numerica e della conservazione dei vincoli (energia). Il metodo del leap-frog.
Applicazione al problema di Lennard-Jones con il metodo di Verlet.
Simulazione del gas di Lennard-Jones, fase gassosa, liquida, solida.
Osservabili.
Problemi proposti:
Calcolare la pressione come media della variazione della quantità di moto nell'urto con le pareti e la temperatura come media dell'energia cinetica per particella, e verificare la proporzionalità nella fase gassosa (legge del gas perfetto).
Calcolare l'istogramma delle velocità (lungo la x e lungo la y), e verificare che viene fuori una curva a campana (Gaussiana).
Dividere il sistema in tre parti e calcolare la frequenza delle particelle nelle tre parti a partire da una situazione in cui tutte le particelle sono concentrate in una (rilassamento all'equilibrio).
Con le condizioni di cui sopra, invertire le velocità ad un certo istante e verificare se si ha la completa reversibilità (come dovrebbe essere dalle equazioni) o meno.
In allegato il tabellone elettronico (openoffice) per l'integrazione dell'oscillatore armonico e il programma (LJ.f95) per il gas di Lennard-Jones (con il programma ausiliario gnuplot.c per la visualizzazione)
Per compilare il programma: gfortran LJ.f95 gnuplot.c e poi ./a.out (a.exe su windows). Occhio che gfortran rinizializza il generatore di numeri casuali sempre allo stesso seme, mentre G95 (un fork di gfortran) no.
Per far girare il programma serve gfortran (gnu-fortran http://gcc.gnu.org/fortran/) o g95 (http://www.g95.org/) e gnuplot (http://www.gnuplot.info/). Su macosx occorre istallare anche X11 (è nel disco xcode, oppure sul sito apple) mentre per windows consiglio di istallare cygwin http://www.cygwin.com/ con i pacchetti gfortran, gnuplot e xwin.
Riferimenti:
Per quanto riguarda la meccanica teorica classica, il testo di riferimento, enorme ma scritto molto bene e molto comprensibile è H. Goldstein, G. Poole, J, Safko, Classical mechanics (Addison-Wesley series in physics 1980), che si trova su genesis library. Un buon riassunto (ovviamente condensato) di tutta la fisica è D. Stauffer and E. Stanley, From Newton to Mandelbrot (Springer 1996) (io ce l'ho anche scannerizzato).
Per una introduzione alla dinamica molecolare (oscillatore armonico e Lennard-Jones): H. Gould, J. Tobochnik, and W. Christian, Introduction to Computer Simulation Methods (Addison-Wesley 2006) http://sip.clarku.edu/ e http://stp.clarku.edu/simulations/. Per Lennard-Jones vedere anche il primo capitolo di Gould Tobochnik, Statistical and Therman Physics (Princeton University Press 2010) sempre su genesis library. Oppure http://www.compadre.org/STP/document/ServeFile.cfm?ID=7946&DocID=685
Per chi fosse interessato alla dinamica dei gas, può vedere il capitolo 7 di F. Reif, Fundamentals of statistical and thermal physics (McGraw-Hill Series in Fundamentals of Physics 1965).