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8/3/2012 lezione 2 ore Franco Bagnoli
Introduzione al corso. Scopo, modalità di erogazione, modalità di esame. Esempio di dinamica molecolare: gas di particelle puntiformi in interazione secondo il potenziale di Lennard-Jones
Sistemi dinamici. Integrazione numerica di equazioni differenziali. Sistemi dinamici lineari 1D. Spazio delle fasi e rappresentazione grafica. Punti fissi. Analisi qualitativa di sistemi non lineari. Stabilità. Sistemi dinamici lineari 2D. Spazio delle fasi e rappresentazione grafica. Punti fissi. Stabilità. Richiami di algebra lineare (matrici, vettori, autovettori ed autovalori). Mappe dell'intervallo. Punti fissi e stabilità nelle mappe.
Biforcazioni nelle equazioni differenziali del primo odine: biforcazione transcritica, pitchfork diretta e inversa. Moto sovrasmorzato e potenziale. Stabilità dei punti fissi nei sistemi del secondo odine: selle, nodi ,spirali. Diagramma di stabilità. I cicli limite come combinazione di rotazione uniforme e biforcazione radiale. La biforcazione di Hopf.
Biforcazioni di Hopf supercritica e subcritica. Sezioni di Poincaré. Tori. Moto quasiperiodico. Serie temporali. Analisi di Fourier. Spettro di potenza. Armoniche. Spettro continuo. Caos. Esponenti di Lyapunov.
Mappa logistica. Punti fissi e stabilità. Cicli limite e punti fissi delle iterate successive. Transizione al caos con period doubling. Frattali e esponenti di Lyapunov. Finestre di periodicità. Intermittenza. Quasiperiodicità. Analisi di serie temporali e mappa di ritorno. Teorema dell'embedding e ricostruzione dell'attrattore.
Moto Browniano, Eq. della diffusione, Derivazione di Einstein, Soluzione dell'eq. della diffusione. Il random walk.
Introduzione ai sistemi stocastici. Dall'equazione di Chapman Kolmogorov all'eq. maestra.
Studio numerico e analitico di un semplice modello di birth/death. Derivazione delle equazioni di campo medio a partire dalla master equation. Osservazione numerica dei quasi cicli.
Catene di Markov. Processi stocastici. Generazione di numeri pseudocasuali. Ipotesi ergodica. Insiemi statistici. Osservabili e medie. Media temporale e media sull'insieme. Distribuzioni di probabilità e istogrammi. Matrice di transizione.
Catene di Markov, stati assorbenti, stati transienti, stati ricorrenti. Analisi spettrale. Stato asintotico.
Automi cellulari probabilistici e catene di Markov. Transizioni di fase. Modello di Domany-Kinzel e automi cellulari totalistici. Campo medio. Diagramma di fase dei modelli. Lunghezza di correlazione e fenomeni critici.
Introduzione alla meccanica quantistica. Esperimento della doppia fenditura. Interferenza. Interazione elettrone-fotone. Ampiezza di probabilità. Regole per i cammini. Principio di indeterminazione. Spettri energetici della buca di potenziale, oscillatore armonico e atomo idrogenoide. Particelle identiche. Fermioni e bosoni.
Introduzione alla meccanica quantistica seconda parte. Riassunto dei fatti principali. La probabilità in meccanica quantistica. Somma sui cammini. Il principio di minima azione e di minimo cammino ottico. Analogie tra Fokker-Plank e eq. di Schroedinger.
Lavoro e calore a livello microscopico. Primo principio della termodinamica. Secondo principio ed equilibrio. Postulato dell'equiprobabilità degli stati. Ergodocità. Entropia e volume accessibile. Principio di minima informazione. Insieme microcanonico. Variabili termodinamiche. Entropia di informazione. Energia libera. Potenziali termodicamici. Insieme canonico. Distribuzione di Boltzmann.
Funzione di partizione. Relazione con l'energia libera. Fattorizzazione. Caso del gas perfetto. Metodo Monte-Carlo. Calcolo di pi greco con direct sampling. Calcolo di pi greco con random walk.
Dalle traiettorie alla statistica e da qui alle traiettorie stocastich: il Metodo Monte-Carlo. Bilancio dettagliato, regola di Metropolis.
Temi di esame. Metodo Monte-carlo: bilancio dettagliato, probabilità a priori (mossa) e probabilità di rejection. Transizioni di fase e correlazioni. Movimenti a cluster. Metodo di Swendswn-Wang/Wolff per il modello di Ising.
Metodo Monte-Carlo: simple sampling (direct sampling) nella disposizione di dischi e self-avoiding walk. Rosenbluth method. Pruning and Enriching. Pivot. Algoritmi genetici.